algebraische Operation

algebraische Operation,

 

jede Verknüpfung im Körper der reellen oder komplexen Zahlen, die algebraische Zahlen wieder in solche überführt (z. B. Addition, Multiplikation, Potenzieren und Radizieren), im Gegensatz zu den Verknüpfungen einer booleschen Algebra, z. B. der Schaltalgebra. In moderner Auffassung, die auch die Boole-Operationen einschließt, versteht man unter einer n -stelligen algebraischen Operation eine Funktion f des n -fachen Mengenprodukts A × A × · · · × A in die Menge A. Dadurch wird jedem geordneten n -Tupel (a₁, a₂,. .., a_n) von Elementen a_i ∈ A (i = 1, 2,. .., n) eindeutig ein Funktionswert f (a₁, a₂,. .., a_n) ∈ A zugeordnet. Im Fall n = 1 liegt eine einstellige oder unäre algebraische Operation vor, die jedem Element x ∈ A eindeutig ein Element f (x) ∈ A zuordnet und folglich eine Funktion von A in sich ist (z. B. die Bildung des Kehrwertes in der Menge der positiven rationalen Zahlen). Im Fall n = 2 liegt eine auch als Verknüpfung bezeichnete zweistellige oder binäre algebraische Operation vor, durch die jedem geordneten Elementenpaar (a₁, a₂) ∈ A × A ein eindeutig bestimmter Wert f (a₁, a₂) ∈ A zugeordnet wird, den man auch a₁ ° a₂ schreibt (mit einem Verknüpfungszeichen °). Beispiele dafür sind die Addition und die Multiplikation in der Menge der natürlichen Zahlen oder in der Menge der reellen Zahlen. Im Fall der Boole-Operationen besteht die Menge A nur aus den Werten 0 und 1, die die Variablen einer Schaltalgebra annehmen können, oder entsprechenden Ausdrücken.